一一对应

两个集合“一样大”（等势）, 当且仅当它们的元素之间能建立一一对应

• 集合 A 的每个元素都对应集合 B 的唯一元素

• 集合 B 的每个元素都恰好对应集合 A 的一个元素

可数集与不可数集

有理数可以写成 p/q 的形式, 其中 p 和 q 为整数, 且 q ≠ 0. 为了方便安排顺序, 我们先只考虑分子分母都是正整数的分数. 尝试给所有正有理数排一个队: 按照分子和分母的和从小到大来分组. 比如, 分子分母和为 2 的只有 1/1；和为 3 的有 1/2 和 2/1；和为 4 的有 1/3、2/2、3/1；和为 5 的有 1/4、2/3、3/2、4/1 … 依此类推. 在每一组内部, 我们按分子从小到大排列. 这样, 我们就得到了一个长长的列表：1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, … 这个列表包含了所有形如 p/q 的正分数, 但其中有些是重复的, 比如 1/1 和 2/2 实际上是同一个有理数. 为了避免重复, 我们在读这个列表的时候, 跳过那些已经出现过的分数. 具体来说, 只保留分子和分母互质（即不能再约分）的分数. 这样, 每一个正的有理数都会在某个时刻出现, 且只出现一次. 前面是按“分子加分母”的和逐步推进的, 任何一个最简分数 a/b 都会在第 a+b 步或之前被考虑到, 因此它一定会出现在这个去重后的序列中的某个有限位置上. 这就说明, 所有的正有理数可以排成一列, 每个都在有限步内出现. 所以说, 正有理数集合是可以被编号的. 接下来, 我们把零和负的有理数也加进来. 零只有一个, 直接放在最前面. 而每一个负的有理数, 都对应一个正的有理数（比如 -3/5 对应 3/5）, 所以负有理数也可以按照正有理数的顺序一一列出. 我们可以这样排队：0, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/1, -2/1, 1/3, -1/3, 3/1, -3/1, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 1/4, -1/4, 4/1, -4/1 … 显然, 任意一个有理数都会在队伍中占据一个确定的、有限的位置. 因此, 整个有理数集合 Q 可以被自然数编号：第 1 个、第 2 个、第 3 个… 每个元素都能被数到.

希尔伯特旅馆

• 问题 1：来了一个新客人

• 解法：让 i 号房间的客人搬到 i+1 号（1→2, 2→3, 3→4…）, 空出的 1 号房给新客人住

• 问题 2：来了可数无穷多新客人, 新客人编号：g1, g2, g3…

• 解法：让原来 i 号房间的客人搬到 2i 号房, 新客人住进奇数号房（gk 住 2k+1 号房）

• 问题 3：来了无穷无穷多辆大巴, 每辆大巴里都有可数无穷多的客人

• 解法：用素数 ！
• 原客人：让原 i 号房间的客人搬到  号房间
• 新客人：巴士 j 的乘客 k 住 号房间, 其中 pj 是第 j + 1 个素数 ( 避开 2, 因为 2 是原客人的 )
• 第 1 辆巴士（素数 3）乘客：住 号房
• 第 2 辆巴士（素数 5）乘客：住 号房
• 第 3 辆巴士（素数 7）乘客：住 号房
• …
• 这表明：可数无穷个可数无穷集的并集, 仍然是可数无穷